Calculadora de Factorial

Calculadora de Factorial - Calcula n! con Pasos

🔢 Calcula el factorial (n!) de cualquier número de 0 a 170. Mira el desglose paso a paso, permutaciones, combinaciones y aplicaciones del mundo real.

¿Qué es un Factorial?

El factorial de un entero no negativo n, denotado como n!, es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales que n. Representa el número de formas de ordenar n objetos distintos.

Fórmula del Factorial

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1 (por definición)
• 1! = 1
• n! = n × (n-1)! (definición recursiva)

Ejemplos de Factorial

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800
• 0! = 1 (caso especial)
• 20! = 2,432,902,008,176,640,000

¿Por qué 0! = 1?

Hay exactamente una forma de ordenar cero objetos: el ordenamiento vacío. Esta definición asegura que las fórmulas matemáticas (especialmente en combinatoria) funcionen correctamente. También es consistente con la fórmula recursiva: n! = n × (n-1)!, así que 1! = 1 × 0! implica que 0! debe ser 1.

Permutaciones

P(n,r) = n!/(n-r)!

Número de formas de ordenar r objetos de n objetos distintos cuando el orden importa.

• Ejemplo: P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• Uso: Puestos en un podio (1.º, 2.º, 3.º)

Combinaciones

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

Número de formas de elegir r objetos de n objetos distintos cuando el orden no importa.

• Ejemplo: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• Uso: Números de lotería, selección de comités

Ceros Finales en n!

Los ceros finales se crean por factores de 10 = 2 × 5. Como siempre hay más factores de 2 que de 5, solo necesitamos contar los factores de 5:

Ceros = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• 10! tiene 2 ceros finales (10, 5)
• 25! tiene 6 ceros finales (5, 10, 15, 20, 25×2)
• 100! tiene 24 ceros finales

Aplicaciones del Mundo Real

• Criptografía: número de claves posibles
• Planificación: formas de organizar citas, tareas, eventos
• Genética: posibles secuencias de ADN/proteínas
• Probabilidad: cálculo de probabilidades en juegos y loterías
• Informática: análisis de complejidad de algoritmos
• Manufactura: configuraciones de líneas de producción
• Logística: problemas de optimización de rutas

Valores Famosos de Factorial

• 52! ≈ 8.07 × 10⁶⁷ (barajar cartas)
• 70! ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰ (supera los átomos del universo ≈ 10⁸⁰)
• 100! ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷ (¡158 dígitos!)
• 170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶ (máximo de JavaScript)

Aproximación de Stirling

Para n grande, calcular factoriales exactos es poco práctico. La aproximación de Stirling proporciona:

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

Esta aproximación se vuelve más precisa a medida que n aumenta. Para n = 10, el error es < 1%.

Tasa de Crecimiento del Factorial

El factorial crece mucho más rápido que funciones exponenciales o polinomiales:

• Polinómica: n² = 100 para n=10
• Exponencial: 2ⁿ = 1,024 para n=10
• Factorial: n! = 3,628,800 para n=10

Doble Factorial

El doble factorial (n!!) multiplica cada dos números:

• n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 o 1
• 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

Subfactorial (Desarreglos)

El subfactorial !n cuenta permutaciones donde ningún elemento aparece en su posición original:

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

Ejemplo: !3 = 2 (arreglos de ABC sin letras en su posición original: BCA, CAB)

Implementación en Programación

Enfoque iterativo:

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

Enfoque recursivo:

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 Consejo: Al calcular permutaciones o combinaciones, cancela factores comunes antes de calcular para evitar overflow. Para C(100,2) = 100!/(2!×98!), calcula (100×99)/2 = 4,950 en lugar de calcular factoriales enormes por separado.